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Sumas parciales de una sucesión aritmética 

Por suma parcial n-ésima de una sucesión aritmética se entiende la suma de los primeros n términos de la sucesión; por ejemplo, si un cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo seis metros y por cada uno de los siguientes segundo cuatro metros adicionales a los del segundo anterior, ¿cuántos metros recorrió en ocho segundos?.

Primero se escribe la sucesión de metros recorridos en cada segundo:

En el primer segundo el cuerpo recorrió 6 (metros); en el segundo, 6 + 4 = 10, en el tercero recorrió 4 adicionales a los ya recorridos en el segundo anterior: 10 + 4 = 14; en el cuarto, 14 + 4 = 18, en el quinto, 18 + 4 = 22; en el sexto, 22 + 4 = 26; en el séptimo, 26 + 4 = 34, esto es, en cada segundo el objeto recorrió: generado por ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)4

ƒ(n) = ƒ(n-1)+4 fórmula de recurrencia

(21) 6,10,14,18,22,26,30,34

¿Por qué en este caso la sucesión formada es aritmética?. Porque cada término de la sucesión se define por el anterior agregándole una constante d = 4, a partir de un elemento inicial de la sucesión, que es ƒ(1) = 6. Por consiguiente, ¿crees obtener el mismo resultado con la fórmula del término n-ésimo (20)?. Sí. Basta con sustituir en (20) : ƒ(1) = 6 y d = 4, luego (8) = 6 + (8-1)4 = 34, que es realmen

te el mismo resultado.

¿De qué otra manera se pueden sumar los ocho primeros términos de la sucesión (21)?. Mediante el método del niño Gauss, es decir, al denotar por S(8) la suma de los primeros ocho términos de la sucesión (21) (suma parcial hasta n = 8), tendremos:

S(8) = 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34.

Pero también escribiéndolo al revés:

S(8) = 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6.

Y si sumamos término a término las dos igualdades tendremos: 2 S(8) =40 + 40 + 40+ 40+ 40 + 40 + 40 + 40, donde: 840

X

S (8) = = 160 ∴S(8)=160.

2

El cuerpo en movimiento ha recorrido 160 metros después de transferir ocho segundos.

Observa que el método del niño Gauss es igual de fácil que sumar parcialmente muchos sumandos y hasta en forma simbólica. ¿Este método puede usarse para sumar los primeros miembros de cualquier sucesión aritmética? Sí, porque si denotamos por S(n) a la suma parcial n-ésima, o sea

S(n) = ƒ(1) + ƒ(2) +....+ƒ(n)

+

S(n) = ƒ(n)+ ƒ(n-1) + ....+ ƒ(1)

2S(n) = [ƒ(1)+ ƒ(n)] + [ƒ(2)+ ƒ(n-1)]+...+[ ƒ (n)+ ƒ(1)],

Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d +a1 + 4d + . . . a1 + (n-1)d Sn = an + an - d + an - 2d + an - 3d + an - 4d + . . . an - (n-1)d

2Sn = a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 +. . .an + a1 + an

2 Sn = (a1 + a1 + a1 +. . .) + (an + an + . . .) 2 Sn = n (a1 ) + n an 2 Sn = n (a1 + an )

n

∴ Sn = (a1 + an) pero an = a1 + (n-1)d

2 n

Sn = [a1 + a1 + (n-1)d]

2

Luego entonces: n [f(1) + f(n)]

(22) S(n) = .

2 ¿Cuál es la fórmula de S(n) a través de ƒ(1)n y d? si se tiene la fórmula que expresa ƒ(n) a través de n dada por (20). Basta con sustituir (20) en (22), o sea: nf1 + f( ) + ( − 1d

[() 1 n)] (23) S(n) =

2 nf + f( ) + ( −1d

[() 1n

21 )]

S(n) = Fórmula para obtener la suma parcial del n-ésimo término

2 de una sucesión aritmética.

Caso especifico 

En las sumas parciales de una sucesión aritmética podemos evidenciarla a todo momento un ejemplo aplicado en la aeronáutica es al momento del conteo de las sillas de un avión en este caso solo necesitaríamos saber la cantidad de filas y por cada fila cuantos asientos hay es lo único que necesitamos para saber el total de sillas ahora también debemos usar la formula de sucesión aritmética que es:

y así podríamos calcular la capacidad de pasajeros por cada puesto del avión.